Применения свойств арифметического квадратного корня

Содержание

Квадратный корень

Применения свойств арифметического квадратного корня
Предварительные навыки

  • Степень с натуральным показателем
  • Периметр, площадь и объём

Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.

Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см

S = 32 = 9 см2

Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.

Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.

Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.

Введём для работы с корнями новые обозначения.

Символ кóрня выглядит как . Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал. А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня .

Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)

Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)

Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа 9». С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.

Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:

Значит квадрат площадью 9 см2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.

Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9

Получается, что выражение  имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.

Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.

Например, извлечём квадратный корень из числа 4

Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4

Поэтому ответ к выражению вида  записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.

Запишем ответ к выражению  с плюсом и минусом:

Определения

Дадим определение квадратному корню.

Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна a.

То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство b2 = a. Число b (оно же корень) обозначается через радикал  так, что . На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение 

Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16

42 = 16

Корень 4 можно обозначить через радикал  так, что .

Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16

(−4)2 = 16

Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.

Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b2 = a.

В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение  полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».

Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.

Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.

Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.

Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:

Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:

12 = 1

и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:

Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство , поскольку 02 = 0.

Выражение вида  смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение , поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.

Если выражение вида  возвести во вторую степень, то есть если записать , то это выражение будет равно подкореннóму выражению a

Например, выражение  равно 4

Это потому что выражение  равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.

Еще примеры:

Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:

Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5

Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5

Действительно, если не пользуясь правилом , вычислять выражение  обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5

Не следует путать правило  с правилом . Правило  верно при любом a, тогда как правило  верно в том случае, если выражение  имеет смысл.

В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:

Примеры: √4, √9, √16.

Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.

Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.

49 < 64

Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,

√49 < √64

Отсюда:

7 < 8

Примеры извлечения квадратных корней

Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.

Пример 1. Извлечь квадратный корень √36

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 62 = 36

√36 = 6

Пример 2. Извлечь квадратный корень √49

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 72 = 49

√49 = 7

В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:

7 × 7 = 49

Но 7 × 7 это 72

72 = 49

Отсюда, √49 = 7.

Пример 3. Извлечь квадратный корень √100

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 102 = 100

√100 = 10

Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.

Пример 3. Извлечь квадратный корень √256

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.

Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.

Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.

Пример 4. Найти значение выражения 2√16

В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2

Пример 7. Решить уравнение 

В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.

Значение переменной x равно 16, поскольку . Значит корень уравнения равен 16.

Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом .

Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.

Из определения мы знаем, что квадратный корень  равен числу b, при котором выполняется равенство b2 = a.

Применим равенство b2 = a к нашему примеру . Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем , а именно переменная x

В выражении 42 = x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.

Пример 8. Решить уравнение 

Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x

Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 64. Значит корень уравнения  равен 64

Пример 9. Решить уравнение 

Воспользуемся определением квадратного корня:

Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x

В выражении 72 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:

Корень уравнения  равен . Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

Пример 10. Найти значение выражения 

В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.

Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2

Приближённое значение квадратного корня

Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.

Например, извлечь квадратный корень  можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 82 = 64. То есть

А извлечь квадратный корень  нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.

Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.

Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.

Найдём значение корня  приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня  будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.

Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:

√1 = 1

Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2

√4 = 2

√1 меньше, чем √4

√1

Источник: http://spacemath.xyz/kvadratnyj-koren/

Алгебра 7-9 классы. 16. Квадратные корни. Свойства квадратных корней – Всё для чайников

Применения свойств арифметического квадратного корня

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

Понятие квадратного корня из неотрицательного числа

Рассмотрим уравнение Решим его графически. Для этого в одной системе координат построим параболу и прямую (рис. 74). Они пересекаются в двух точках А (- 2; 4) и В (2; 4). Абсциссы точек А и В являются корнями уравнения . Итак,

Рассуждая точно так же, находим корни уравнения (см. рис. 74):

А теперь попробуем решить уравнение геометрическая иллюстрация представлена на рис. 75. Ясно, что это уравнение имеет два корня х1 и х2, причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку (х1 = — х2).

Но в отличие от предыдущих случаев, где корни уравнения были найдены без труда (причем их можно было найти и не пользуясь графиками), с уравнением х2 = 5 дело обстоит не так: по чертежу мы не можем указать значения корней, можем только установить, что один корень располагается чуть левее точки -2, а второй — чуть правее точки 2.

Что же это за число (точка), которое располагается чуть правее точки 2 и которое в квадрате дает 5? Ясно, что это не 3, так как З2 = 9, т. е. получается больше, чем нужно (9 > 5).

Значит, интересующее нас число расположено между числами 2 и 3. Но между числами 2 и 3 находится бесконечное множество рациональных  чисел, например и т.д.

Может быть, среди них найдется такая дробь , что ? Тогда никаких проблем с уравнением у нас не будет, мы сможем написать, что

Но тут  нас ждет неприятный сюрприз. Оказывается, нет такой дроби , для которой выполняется равенство

Доказательство сформулированного утверждения довольно сложно. Тем не менее мы его приводим, поскольку оно красиво и поучительно, очень полезно попытаться его понять.

Предположим, что имеется такая несократимая дробь , для которой выполняется равенство Тогда , т.е. . Последнее равенство означает, что натуральное  число m2 делится без остатка на 5 (в частном получится n2).

Следовательно, число m2 оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0. Но тогда и натуральное число m оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0, т. е. число m делится на 5 без остатка.

Иными словами, если число m разделить на 5, то в частном получится какое-то натуральное число k. Это значит, что

А теперь смотрите:

Подставим 5k вместо m в первое равенство:

Последнее равенство означает, что число,n2 делится на 5 без остатка. Рассуждая, как и выше, приходим к выводу о том, что и число n делится на 5 без остатка.

Итак, m делится на 5, n делится на 5, значит, дробь можно сократить (на 5). Но ведь мы предполагали, что дробь — несократимая.

В чем же дело? Почему, правильно рассуждая, мы пришли к абсурду или, как чаще говорят математики, получили противоречие? Да потому, что неверной была исходная посылка, будто бы существует такая несократимая дробь , для которой выполняется равенство

Отсюда делаем вывод: такой дроби нет.

Метод доказательства, который мы применили только что, называют в математике методом доказательства от противного. Суть его в следующем.

Нам нужно доказать некоторое утверждение, а мы предполагаем, что оно не выполняется (математики говорят: «предположим противное» — не в смысле «неприятное», а в смысле «противоположное тому, что требуется»).

Если в результате правильных рассуждений приходим к противоречию с условием, то делаем вывод: наше предположение неверно, значит, верно то, что требовалось доказать.

Итак, располагая только рациональными числами (а других чисел мы с вами пока не знаем), уравнение х2 = 5 мы решить не сможем.
Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке.

Они ввели в рассмотрение новый символ который назвали квадратным корнем, и с помощью этого символа корни уравнения х2 = 5 записали так: (читается: «корень квадратный из пяти»).

Теперь для любого уравнения вида х2 = а, где а > О, можно найти корни — ими являются числа    и (рис. 76).

Еще раз подчеркнем, что число не целое и не дробь.

Значит, — не рациональное число, это число новой природы.

Пока лишь отметим, что новое число находится между числами 2 и 3, поскольку 22  =  4, а это меньше, чем 5; З2 = 9, а это больше, чем 5. Можно уточнить:

В самом деле Можно еще уточнить

действительно,

На практике обычно полагают, что число равно 2,23 или оно равно 2,24, только это не обычное равенство, а приближенное равенство, для обозначения которого используют символ .

Итак,

Обсуждая решение уравнения х2 = а, мы столкнулись с довольно типичным для математики положением дел.

Попадая в нестандартную, нештатную (как любят выражаться космонавты) ситуацию и не найдя выхода из нее с помощью известных средств, математики придумывают для впервые встретившейся им математической модели новый термин и новое обозначение (новый символ); иными словами, они вводят новое понятие, а затем изучают свойства этого понятия. Тем самым новое понятие и его обозначение становятся достоянием математического языка. Мы действовали так же: ввели термин «корень квадратный из числа а», ввели символ для его обозначения, а чуть позднее изучим свойства нового понятия. Пока мы знаем лишь одно: если а > О, то  — положительное число, удовлетворяющее уравнению х2 = а. Иными словами,   это такое положительное число, при возведении которого в квадрат получается число а.

Поскольку уравнение х2 = 0 имеет корень х = 0, условились считать, что

Теперь мы готовы дать строгое определение.

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это

число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом.

Итак, если а — неотрицательное число, то:

Если а < 0, то уравнение х2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.

Таким образом, выражение имеет смысл лишь при а > 0.

Говорят, что — одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и b), но только вторая описана на более простом языке, чем первая (использует более простые символы).

Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в квадрат. Сравните:

Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении квадратного корня.

И хотя, например, (- 5)2 = 25 — верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня (т.е. написать, что ) нельзя.

По определению, — положительное число, значит, Часто говорят не «квадратный корень», а «арифметический квадратный корень». Термин «арифметический» мы опускаем для краткости.

Пример 1. Вычислить:

Решение.

г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа . Ясно лишь, что оно больше, чем 4, но меньше, чем 5, поскольку 42 = 16 (это меньше, чем 17), а 52 = 25 (это больше, чем 17).

Впрочем, приближенное значение числа можно найти с помощью микрокалькулятора, который содержит операцию извлечения квадратного корня; это значение равно 4,123.

Итак,   ≈ 4,123.

д) Вычислить нельзя, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не существует; запись лишена смысла. Предложенное задание некорректно.

е)    , так как 31 > 0 и 312 = 961. В подобных случаях приходится использовать таблицу квадратов натуральных чисел или микрокалькулятор.

ж)    поскольку 75 > 0 и 752 = 5625.

В простейших случаях значение квадратного корня вычисляется сразу: и т. д. В более сложных случаях приходится использовать таблицу квадратов чисел или проводить вычисления с помощью микрокалькулятора. А как быть, если под рукой нет ни таблицы, ни калькулятора? Ответим на этот вопрос, решив следующий пример.

Пример 2. Вычислить .

Решение.

Первый этап. Нетрудно догадаться, что в ответе получится 50 с «хвостиком». В самом деле, 502 = 2500, а 602 = 3600, число же 2809 находится между числами 2500 и 3600.

Второй этап. Найдем «хвостик», т. е. последнюю цифру искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 или 59.

Проверить надо только два числа: 53 и 57, поскольку только они при возведении в квадрат дадут в результате четырехзначное число, оканчивающееся цифрой 9, т. е.

той же цифрой, которой оканчивается число 2809.

Имеем 532 = 2809 — это то, что нам нужно (нам повезло, мы сразу попали в «яблочко»). Значит, .

Ответ: .

Подобно тому, как выше мы определили понятие квадратного корня, можно определить и понятие кубического корня:

кубическим корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, куб которого равен а. Иными словами, равенство означает, что b3 = а.

Например , так как , так как , так как

  СВОЙСТВА КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

До сих пор мы осуществляли над числами пять арифметических операций: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях активно использовали различные свойства этих операций, например

и т.д.

Теорема 1

Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел:

Доказательство. Введем следующие обозначения:

Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х = yz.

Так как то . Аналогично, так как и , то соответственно .

Итак, . Тогда т. е. . Если квадраты двух неотрицательных чисел равны, то и сами числа равны, значит, из равенства следует, что х = yz,  а это и требовалось доказать.

Приведем краткую запись доказательства теоремы:

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Теорема остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных множителей.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Теорему 1 можно оформить, используя конструкцию «если… , то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а и b — неотрицательные числа, то справедливо равенство . Следующую теорему мы именно так и оформим.

Теорема 2.

Если то справедливо равенство

(Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней или корень из частного равен частному от корней.)

Доказательство. На этот раз мы приведем только краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что составили суть доказательства теоремы 1.

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1876-algebra-7-9-klassy-16-kvadratnye-korni-svojstva-kvadratnykh-kornej

Урок математики по теме:

Применения свойств арифметического квадратного корня

Класс: 8

Тип урока: отработка (закрепление) новых знаний.

Основные цели:

  1. формировать навык внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня.
  2. тренировать способность к рефлексии собственной деятельности;
  3. развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческой активности.
  4. воспитание точности, корректности, логичности в мышлении.

Оборудование, демонстрационный материал: рабочие тетради, цветные карточки – сигналы, задания для самостоятельной работы обучающего характера, карточки с дополнительными заданиями, карточки, содержащие подробное решение заданий, мультимедийный проектор.

План урока (пишется на плакате или на доске).

1. Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока: закрепление приобретенных знаний и умений применять свойства арифметического квадратного корня.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Здравствуйте, ребята!

– Какую тему мы начали изучать на прошлом уроке? (Вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня.)

– Сегодня на уроке мы продолжим работать над применением свойств арифметического квадратного корня, а именно будем продолжать формировать навык внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель этапа: актуализировать знания в нахождении значений арифметического квадратного корня, в извлечении квадратного корня из степени с четными, нечетными показателями; выполнить самостоятельную работу; зафиксировать задания, вызвавшие затруднение.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. Вычислите:

а)

б)

в)

г)  

2. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) ;

б) ;

в) , где а.

3. Внесите множитель под знак корня:

а) 6;

б) -3;

в) а, если а;

г) а, если а.

4. При каких значениях а выражение имеет смысл?

; ; .

Молодцы.

– Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

– Как Вы поступите, если понадобится внести отрицательный множитель под знак корня? ( Внесем под знак корня положительный множитель, а знак «минус» оставим перед корнем).

– Как Вы поступите, если потребуется внести переменную под знак арифметического корня?

( рассмотрим два случая: если у0 и у0)

– Сейчас вы будете выполнять самостоятельную работу.

[Учащиеся выполняют самостоятельную работу №1 (5-7 минут)].

Перед проверкой работ:

– Подпишите фамилию и имя вверху таблицы.

– Проверьте задание по образцу и зафиксируйте результат.

По мере проверки учащиеся фиксируют несовпадения с предъявленным образцом и заполняют второй столбец своей таблицы. Если задание выполнено точно так же, как на образце, то в таблице против соответствующего номера они ставятся знак «+», а если есть расхождения, то фиксируют их знаком «?».

3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности

Цель этапа: указать место в задании, где допущена ошибка, определить правило, в котором допущена ошибка, уточнить цель урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Если у вас все ответы и решения совпали, то вам можно приступать к дополнительному заданию.

С теми учащимися, которые допустили ошибки, организовать диалог по локализации затруднения.

– Ну, а те, у кого ответы не совпали Вам надо найти место ошибки и понять её причину.

– Какую цель вы ставите для себя на этом уроке? (Определить причину ошибки и исправить её.)

4. Построение проекта выхода из затруднения. Обобщение причин затруднений во внешней речи

Цели этапа:

  • уточнить способы действий, в которых допущены ошибки; исправить ошибки на основе правильного применения правил;
  • зафиксировать в речи правила, в которых были допущены ошибки.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Учащиеся вместе с учителем выполняют работу с номерами из учебника, учитель на данном этапе выступает в качестве консультанта. Все правила проговариваются во внешней речи.

Физкультурная пауза:

Буратино потянулся, Раз – нагнулся, два – нагнулся. Руки в стороны развел, Ключик видно не нашел. Чтобы ключик нам достать,

Нужно на носочки встать.

5. Самостоятельная работа с самопроверкой по листу самоконтроля №2

Цель этапа: проверить способность к выполнению заданий, которые на предыдущей самостоятельной работе вызвали затруднение; сопоставить полученное решение с образцом для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Выполните вторую самостоятельную работу.

Работа проверяется по листу для самопроверки.

Пока учащиеся выполняют вторую самостоятельную работу, первая группа детей проверяет дополнительные задания по подробному образцу. Результаты фиксируются в таблицу. Если задание выполнено точно так же, как на образце, то в таблице против соответствующего номера они ставятся знак «+», а если есть расхождения, то фиксируют их знаком «?».

6. Включение в систему знаний и повторение.

Цель этапа: тренировать навыки вынесения множителя из-под знака корня, внесения множителя под знак корня.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Выбери верный ответ: (у каждого учащегося есть три карточки разного цвета, он поднимает нужного цвета)

8. Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа: зафиксировать, где были допущены ошибки, способ исправления допущенных ошибок; зафиксировать содержание, которое повторили на уроке, оценить собственную деятельность; записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Какую тему мы сегодня повторяли? (применение свойств арифметического квадратного корня.)

– В чём испытали затруднение?

– Над чем необходимо ещё поработать?

– Проанализируйте свою работу на уроке и поставьте себе оценку «5» — всё понимаю; «4» — понимаю, но есть вопросы; «?» — затрудняюсь применять свойства арифметического квадратного корня.

Домашнее задание

Всем: № 413, 417

Задания для выбора:  Построить график у = , Найти О.О.Ф у =

Самоанализ:

Тема урока: Вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня.

Данный урок был уроком закрепления знаний и умений. Он тесно связан с предыдущими уроками: квадратный корень из произведения и дроби, квадратный корень из степени, а также с последующими: преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

Цели урока

  1. формировать навык внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня.
  2. тренировать способность к рефлексии собственной деятельности;
  3. развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческой активности.
  4. воспитание точности, корректности, логичности в мышлении.
  5. добиться сознательного применения учащимися соответствующих алгоритмов для решения типичных упражнений, используя принцип уровневой дифференциации, то есть ребенок, находящийся в зоне ближайшего развития развивается с помощью учителя, а ребенок, находящийся в зоне актуального развития получает возможность на уроке добывать знания самостоятельно и осмысливать их.

Оборудование: рабочие тетради, цветные карточки – сигналы, задания для самостоятельной работы обучающего характера, карточки с дополнительными заданиями, карточки, содержащие подробное решение заданий, мультимедийный проектор.

На этапе актуализации знаний учащихся я предусмотрела различные формы работы, которые способствуют борьбе с перегрузкой учащихся. В предложенных заданиях №1 воспроизводится повторение свойства квадратного корня – квадратный корень из произведения и дроби. Задание №2 нацелено повторить квадратный корень из степени. Задание №3 включает повтор умения решать квадратные уравнения.

Все задания развивают умение анализировать в применении.

Актуализация знаний для всего класса одна и та же.

Затем была проведена самостоятельная диагностическая работа, которая помогла мне определить зоны актуального и ближайшего развития ребенка и тем самым разбить класс на условные группы различного уровня подготовленности. Примеры №1 а и №2 а -оптимальный уровень(различие, воспроизведение); примеры №1б,в и №2 б допустимый(понимание, уровень умений и навыков) пример №2 в- расширенный(уровень переноса, творческий уровень)

Класс работает ограниченное количество времени (5-7 минут). Происходит самопроверка (формирует общеучебные навыки).

Отработка умений и навыков произведена дифференцированно. Для учащихся, находящихся в зоне актуального развития я продумала самоконтроль. На таких уроках он целесообразен, т.к. экономит время, кроме того, учащиеся осознанно подходят к своим “пробелам” и ликвидируют их, не боясь получить низкую оценку.

Так же им предложила задания творческого характера. Эти задания предусматривают не только знание предыдущей темы с данной, но и умение совместить их в нестандартной ситуации. Наивысший бал за урок получили ученики, справившиеся со всеми заданиями.

Учащиеся, которые недостаточно владеют навыком применения свойств арифметического квадратного корня, работали, получая наибольшую степень помощи от учителя.

Далее для этих учащихся опять провожу диагностическую работу, с целью определения удалось ли мне скорректировать знания учащихся по теме ” Вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня”. В это время учащиеся, находящиеся в зоне актуального развития проверяют свое задание по образцу.

Важно отметить, что некоторые ученики, справившиеся со 2 диагностической работой, на последующих уроках могут перейти на более высокий уровень развития и имеют реальную возможность получить оценку 4, тем самым, получая возможность испытать учебный успех.

Домашнее задание дифференцированно, что позволяет определить его объем, уровень сложности самостоятельно, по степени усвоения изучаемого материала.

Дифференциация заданий способствует развитию прогрессивного мышления у учащихся с высоким уровнем обучаемости и усвоению обязательного минимума у детей с низким уровнем обучаемости.

Считаю, что поставленные цели были реализованы на уроке, т.к. учащиеся с полным обоснованием выполняли задания на применение свойств арифметического квадратного корня.

Так же считаю, что были реализованы обще-учебные умения и навыки (могут найти ошибку и исправить ее, осуществляют контроль над выполняемыми действиями и делают выводы относительно правильности выполнения операций, могут критически осмыслить полученный результат).

На уроке использовались иллюстративные, репродуктивные, частично-поисковые методы и методы самостоятельной работы, репродуктивного и вариативного воспроизведения и применения усвоенных приемов.

Положительный, эмоциональный настрой поддерживался на протяжении всего урока; высокая работоспособность обеспечивалась за счет личностно-ориентированного подхода; Считаю, что удалось сформировать умения и навыки как предметные, так и обще-учебные (самоконтроль).

Осуществляя дифференцированный подход к обучению, я придерживалась следующих правил работы:

  1. Не сравниваю учеников друг с другом в отношении успехов в учебе.
  2. Сравниваю успехи ребенка с самим собой, чтобы он осознавал зоны собственного развития.
  3. Поощряю любой успех ребенка.

Структура урока соответствовала его типу. Этапы урока разграничены, по каждому подводился итог. Как показала, проведенная в конце, рефлексия дети получили удовлетворение и радость, они готовы к следующему этапу изучения математики.

Хотелось бы добавить в заключении, что уроки с использованием уровневой дифференциации, в отличие от стандартных позволяют работать каждому ученику в своем темпе.

Приложение (раздаточный материал).

Презентация.

9.02.2010

Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/563719/

Квадратный корень. Исчерпывающий гид (2020)

Применения свойств арифметического квадратного корня

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для начала почитай комментарии внизу этой статьи, чтобы понять насколько крутой материал ты сейчас читаешь! )

А теперь давай попробуем разобраться, что это за понятие такое “квадратный корень”.

К примеру, перед нами уравнение  .

Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом  ?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ:   и   (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ  

Давай разберемся с корнем до конца…

СОДЕРЖАНИЕ

Введение понятия арифметического квадратного корня​  Свойства арифметического квадратного корня Извлечение корней из больших чисел Как тебе квадратный корень? Все понятно?

Введение понятия арифметического квадратного корня​

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .
 .

А почему же число   должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен  ?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим:  , а не  .

Может,  ? Опять же, проверяем:  .

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что «квадратным корнем из числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  ».

А в самом начале мы разбирали пример  , подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом  , ответом были   и  , а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

К примеру,   не равносильно выражению  .

Из   следует, что

 , то есть   или  ;   (не помнишь почему так? Почитай тему “Модуль числа”!)

А из   следует, что  .

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как  , так и  .

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Итак, вкратце на примере, нужно ли ставить “плюс-минус” (этот наглядный пример привёл наш читатель Игорь, спасибо ему за это):

Пусть есть две ситуации:

1)  

2)  

В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет   (уже видно отличие от второго случая) и далее получаем два корня  

Во втором случае у нас НЕТ квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда “одно неотрицательное число”, то есть 8.

А теперь попробуй решить такое уравнение  .

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля:   – не подходит.

Двигаемся дальше  ;   – меньше трех, тоже отметаем.

А что если  ? Проверим:   – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между   и  , а также между   и  .

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции   и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из  , делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что   Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение.   и   уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной   км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора:  .

Таким образом,  .

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что  . Корень из двух приблизительно равен  , но, как мы заметили раньше,   -уже является полноценным ответом.

Извлечение корней

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от   до  , а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что   в квадрате равно  , а также, наоборот, что   – это   в квадрате.

Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

Ответы:

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

Ответы:

 Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

СвойствоПример

Корень произведения равен произведению корней:

Корень из дроби – это корень из числителя и корень из знаменателя:

 , если  

Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

 , при  

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Начнем с простенького:

Минуууточку.   это  , а это значит, что мы можем записать вот так:

Усвоил? Вот тебе следующий:

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

Теперь полностью самостоятельно:

Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

 , если  .

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

Вот и вся наука. А вот такой пример:

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

А вот такой примерчик:

Еще ты можешь встретить такое выражение:

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа   – это число, квадратный корень которого равен  .

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен  , в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно,  !

Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

А вот и ответы:

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко! 

Допустим, у нас записано число  

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из  !

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

 
Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример –  
Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше:   или  ?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если  , значит,  .

Отсюда твердо делаем вывод, что  . И никто не убедит нас в обратном!

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

Вот и все, не так все и страшно, правда?

Получилось  ? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Ну что, начнем раскладывать   на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на   (вспоминаем признаки делимости):

А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):

Ну что, получилось  ? Молодец, все верно!

Подведем итоги

  1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .
     .
  2. Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

  3. Свойства арифметического корня:
    СвойствоПример
    Корень произведения равен произведению корней , если  
    Корень из дроби – это корень из числителя и корень из знаменателя.

     , если  

    Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение , при  
  4. При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Как тебе квадратный корень? Все понятно?

Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.

Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.

Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.

Источник: https://youclever.org/book/kvadratnyj-koren-1

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.